Thursday, September 29office@prosveshtenieto.com

Геометрията и Земята



Доста изследвания в математика ни помогнали да стигнем до обширната теория, за това как работи светът. В един мек есенен ден през 2016 г. унгарският математик Габор Домокос се появил на прага на дома на геофизика Дъглас Джеролмак във Филаделфия. Домокош носел със себе си куфари, и една голяма тайна.

Движейки се по алеята Домокош попитал „Колко фасета има всеки от тези чакъли?“ После се засмял. „Ами ако кажа, че това число винаги е някъде около шест?“ След това зададе по-сериозен въпрос, който се надявал да проникне в мозъка на колегата му.

Ами ако светът е направен от кубчета?

Отначало Джеролмак възразил. Къщите могат да се строят с тухли, но земята е от камъни. Очевидно камъните са различни. Слюдата се разслоява на листове, кристалите се напукват в по добре очертани оси, но само от математическа гледна точка, твърди Домокош, всички камъни, които се счупят на случаен принцип, ще се разделят на форми със средно шест лица и осем върха.

Геометрията и Земята

Ако ги разгледаме заедно, тогава всички те ще бъдат форми, които се сближават с някакъв вид идеален куб. Домокос го доказва математически. Сега той се нуждае от помощта на Джеролмак, за да покаже, че природата прави всичко точно така.

Това беше геометрия с точни прогнози, която беше потвърдена в естествения свят без участието на физика“, каза Джеролмак, професор в Университета на Пенсилвания. — Как, по дяволите, природата позволява това да се случи?

През следващите няколко години двойката учени преследвала своята геометрична визия от микроскопичните фрагменти до скалните разкрития, планетарни повърхности и дори Тимей на Платон, придавайки на проекта допълнителна нотка на мистицизъм. Основателят на философията, който пише около 360 г. пр. н. е., сравнява петте платонови тела с петте предполагаеми елемента: земя, въздух, огън, вода и космическата материя. По провидение, късмет или по взаимно съгласие Платон предложил кубовете като най-удобната форма за Земята.

Нашите учени продължили да намират средни кубоиди в природата, плюс няколко некубоиди, които биха могли да бъдат обяснени с помощта на същите теории. В резултат на това те създали нова математическа рамка – описателен език за изразяване на това, как всички неща се разпадат. Когато работата им била публикувана по-рано тази година, тя била озаглавена като особено езотеричен роман за Хари Потър: Кубът на Платон и естествената геометрия на фрагментацията.

Няколко геофизици, с които се свързал Quanta, казват, че същата математическа рамка може да помогне за решаването на проблеми като разбирането на ерозията на пукнатините в скалите или предотвратяването на опасни скални падания.

Много, много интересно“, казва геоморфологът от Университета в Единбург Микаел Атал, един от двамата учени, които са прегледали статията преди публикуването. Друг рецензент, е бил геофизикът от Вандербилт Дейвид Фърбиш, който казал: „Една статия като тази ме кара да се чудя: мога ли някак да използвам тези идеи?

Много преди да пристигне във Филаделфия, Домокос имал много по-безобидни математически въпроси. Да кажем, че разбивате нещо на много парчета. Вече имате мозайка – колекция от форми, които могат да се сгъват заедно без наслагвания или празнини, като пода на древна римска баня. Да приемем също, че всички тези форми са изпъкнали, без вдлъбнатини.

Домокос първо искал да разбере дали геометрията може да предскаже, от какви форми средно ще съставят тази мозайка. Тогава той искал да може да опише всички други възможни колекции от форми, които биха могли да бъдат намерени.

Геометрията и Земята
Габор Домокос (вляво), Дъглас Джеролмак (вдясно)

За студент по геометрия прогнозирането на отговора не е толкова трудно. Формата трябва да има четири върха и четири страни, което дава средно правоъгълник.

Можете също да видите същия проблем в три измерения.

Преди около 50 години руският ядрен физик, дисидент и носител на Нобелова награда за мир Андрей Дмитриевич Сахаров поставил същия проблем, когато той и съпругата му режели глава зеле със съпругата си. Колко върхове трябва да има средно едно зеле? Сахаров предал задачата на легендарния съветски математик Владимир Игоревич Арнолд и неговия ученик, но усилията им да го решат били непълни и до голяма степен забравени.

Без да знае за тази работа, Домокос написал доказателство, което посочил кубчетата като отговор. Той обаче искал да провери отново, като подозирал, че ако отговорът на същия проблем вече съществува значи той е заключен в неразбираем том на немските математици Волфганг Вайл и Ролф Шнайдер, 80-годишен титан в областта на геометрията. Домокос е професионален математик, но дори той намира текста за доста плашещ.

Намерих човек, който беше готов да прочете тази част от книгата вместо мен и да я преведе на човешки език“, казва Домокос. Той намерил теорема за произволен брой измерения. Благодарение на това той потвърдил, че кубовете наистина са 3D отговора.

Домокос вече имал средни форми, получени чрез разделянето на плоска повърхност или триизмерен блок. Но тогава възникнала една още по-важна задача. Домокос осъзнал, че може да разработи и математическото описание не само на средните форми, но и на потенциалните такива.

Не забравяйте, че формите, които се образуват, след като нещо се разпадне, са мозайките. Те пасват заедно без припокриване или празнини. Тези изрязани правоъгълници, например, могат лесно да бъдат съединени заедно, за да запълнят мозайката в две измерения. Точно като шестоъгълниците, в идеализирания случай, който математиците наричат ​​модел на Вороной. Но петоъгълници? Осмоъгълници? Те не се подреждат в плочки.

За да класифицира правилно мозайките, Домокос започнал да ги описва с две числа. Първият е средният брой върхове във всяка клетка. Вторият е средният брой отделни клетки, разделящи всеки връх. Така, например, в мозайка от шестоъгълни плочки за баня, всяка клетка е шестоъгълник, който има шест върха и всеки връх е разделен от три шестоъгълника.

В мозайката работят само определени комбинации от тези два параметъра, образувайки тясна лента от форми, които могат да бъдат резултат от разпадането на нещо. Отново тази пълна лента била сравнително лесна за намиране в две измерения, но много по-трудна в три. Кубчетата, разбира се, се сгъват добре в 3D, но други комбинации от форми, включително тези, които образуват 3D версия на модела на Вороной, също го правят.

Геометрията и Земята

За да запази задачата осъществима, Домокос се ограничил до мозайки с подредени изпъкнали клетки, които имат едни и същи върхове. В крайна сметка той и математикът Золт Ланги разработили нова хипотеза, която скицира кривата на всички възможни триизмерни мозайки като тази.

Те го публикували в Experimental Mathematics и „след това изпратих всичко на Ролф Шнайдер, който, разбира се, е бог“, казва Домокос.

Попитах го дали иска да обясня как съм стигнал до това предположение, но той ме увери, че знае“, каза Домокос, смеейки се. “Това означаваше сто пъти повече, отколкото да бъде прието в което и да е списание.

По-важното е, че Домокос вече имал база. Математиката предложила нов начин за класифициране на всички модели, в които повърхностите и блоковете могат да бъдат разбити. Геометрията също така прогнозирала, че ако произволно разбиете плоска повърхност на фрагменти, тя ще се разпадне на груби правоъгълници, а ако направите същото в три измерения, ще получите груби кубчета.

Но за да има значение всичко това за някой, различен от няколко математици, Домокос трябвало да докаже, че същите тези правила се появяват в реалния свят.

От геометрия до геология

По времето, когато Домокос карал през Филаделфия през 2016 г., той вече бил постигнал известен напредък към решаването на проблема в реалния свят. Той и колегите му от Технологичния и икономически университет в Будапеща били събрали фрагменти от доломит, ерозиран от скала на планината Хармашатаргей в Будапеща.

В продължение на няколко дни лаборантът, който нямал предпоставки за обща конспирация срещу кубчетата, старателно преброил ръбовете и върховете на стотици зърна. Средно аритметично? Шест лица, осем върха. Работейки с Янош Тьорок, компютърен симулатор, и Ференц Кун, експерт по физика на фрагментация, Домокос открил, че средните стойности на кубоидните фасети също се появяват в скали като гипс и варовик.

След като получил математически изчисления и първите физически доказателства, Домокос представил идеята си на смаяния Джеролмак. „По някакъв начин той направи заклинание и всичко останало изчезна за момент“, казва Джеролмак.

Техният съюз беше добре известен. Преди много години Domokos станал известен с доказването на съществуването на gömbök – необикновена триизмерна форма, която се върти в изправено положение, независимо, как я бутате. За да разбере дали гьомбьок съществува в природата, той наел Йеролмак, който му помогнал за прилагането на концепцията, за да обясни закръгляването на камъчетата на Земята и Марс.

Gömbök е изпъкнала триизмерна форма с еднаква плътност, която има една точка на стабилно равновесие.

Геометрията и Земята
gömbök

За да докажат, че Платонови кубове наистина съществуват в природата, те трябвало да покажат нещо повече от случайно съвпадение на геометрията и няколко шепи скали. Трябвало да разгледат всички скали и след това да напишат завладяващата теория за това, как абстрактната математика можела да проникне през заплетената геофизика в още по-заплетената реалност.

Отначало „всичко изглежда работише“, казва Джеролмак. Математиката на Domokos прогнозирала, че скалните отломки средно трябвало да имат кубична форма. Все по-голям брой реални скални отломки изглежда щастливо се подчинявали на това. Но скоро Джеролмак осъзнал, че за да докаже теорията, ще трябва да се сблъска с нарушаването на правилата.

В крайна сметка същата геометрия предоставя речник за описание на безброй други мозаечни модели, които могат да съществуват както в две, така и в три измерения. Джеролмак може да си представи няколко истински счупени скали, които изобщо не приличат на правоъгълници или кубчета, но все пак могат да бъдат приписани на това по-голямо пространство.

Може би тези примери напълно ще развалят теорията за кубичния свят. По-обещаващо е, че може би те ще възникнат само при специални обстоятелства и ще носят отделни уроци за геолозите.

През следващите няколко години, работейки от двете страни на Атлантическия океан, Джеролмак и останалата част от екипа започнали да идентифицират къде в Домокос са паднали реалните примери за счупената скала. Когато екипът изследвал повърхностните системи, които по същество са двуизмерни – пукнатини на вечната замръзналост в Аляска, доломитните разкрития и отворените пукнатини в гранитния блок – те открили многоъгълниците с четири страни и четири върха, точно като парче хартия, нарязано на парчета. Всяко от тези геоложки явления сякаш възникнали там, където скалите просто се разцепват. Ето, прогнозите на Домокос се сбъднали.

Междувременно друг тип счупени плочи се оказали това място. Калните легла, които изсъхват, напукват се, намокрят се, заздравяват и след това отново се напукват, имат клетки със средни шест страни и шест върха, следващи приблизително шестоъгълния модел на Вороной. Скалите, образувани от охлаждащата лава, която се втвърдява надолу от повърхността, могат да имат подобен вид.

Трябва да се отбележи, че тези системи като правило са се образували при различен вид напрежение, когато силите издърпват камъка навън, а не го притискат навътре. Геометрията разкрива геологията и Джеролмак и Домокос решили, че тази рисунка на Вороной, дори и да е сравнително рядка, може да бъде намерена в много по-голям мащаб, отколкото са смятали преди.

Геометрията и Земята

Преброяване на кора

По средата на проекта екипът се срещнал в Будапеща и прекарала три дни с неистово темпо, опитвайки се да включи по естествени примери в проекта си. Скоро Джеролмак намерил нова диаграма в компютъра си – мозайка за това как тектонските плочи на Земята се вписват заедно. Плочите са ограничени от литосферата, почти двуизмерна обвивка на повърхността на планетата. Моделът изглеждал познат и Джеролмак извикал останалите. „Бяхме абсолютно развълнувани“, казал той.

За окото плочите изглеждали така, сякаш отговарят на схемата на Вороной, а не на правоъгълници. Тогава екипът изчислил в идеалната мозайка на Вороной от шестоъгълници на плоската равнина всяка клетка би имала шест върха. Действителните тектонични плочи имали средно 5,77 пика.

За геофизика това било достатъчно близо, за да се зарадват учените. Домокос се прибрал през нощта, защото разликата все още го гризеше. Отново записал числата и тогава му просветнало. Шестоъгълната мозайка можела да покрие равнината, но Земята не е плоска равнина. Представете си футболна топка, покрита както с шестоъгълници, така и с петоъгълници. Домокос изчислил числата за повърхността на сферата и установил, че на земното кълбо клетките на мозайката на Вороной трябва да имат средно 5,77 върха.

Тази идея може да помогне на изследователите да отговорят на основен открит въпрос в геофизиката: Как са се образували тектонските плочи на Земята? Една от теориите е, че плочите са страничен продукт на бълбукащи конвективни клетки дълбоко в мантията, но противниковият лагер вярва, че земната кора е отделна система, която се разширява, става крехка и се разцепва. Наблюдаваният модел на плочата от Вороной, който прилича на много по-малки кални легла, може да подкрепи втория аргумент, казва Джеролмак. „Това също ме накара да осъзная, колко важна е тази статия“, казва Атал. “Наистина е феноменално.”

Разобличаващ разлив

Междувременно в трите измерения изключенията от правилото на кубоида били доста редки. Те също могат да бъдат получени чрез симулиране на необичайни, външни издърпващи сили. Едно от характерните некубични скални образувания се намира на брега на Северна Ирландия, където вълните бият десетки хиляди базалтови колони. На ирландски това са Klochan-na-Fomkhor, етапите на расата на свръхестествените същества, а на Английски името е – Giant’s Causeway.

Много е важно тези колони и други подобни вулканични скални образувания да са с шестоъгълна форма, но моделирането на Török показва, че мозайките, подобни на Giant’s Causeway, са триизмерни структури, които просто са израснали от двуизмерната основа на Вороной, образувана при охлаждането на вулканичната скала.

Геометрията и Земята
Пътеката на гигантите в Северна Ирландия.

Математиката ни казва, че когато започнем да цепим скали, както и да го правим, по случаен или детерминиран начин, има само определен набор от възможности“, казва Фърбиш.

По-конкретно, може би бихте могли да вземете истинска счупена площадка, да преброите неща като върховете и ръбовете и след това да можете да заключите с геоложки обстоятелства. Що се отнася до Джеролмак, след като първоначално се чувствал неудобно от възможната случайна връзка с Платон, той я приел. В крайна сметка гръцкият философ предполага, че идеалните геометрични форми са централни за разбирането на Вселената, но винаги са извън полезрението, видими само като изкривени сенки.

Това буквално е най-прекият пример, за който можем да се сетим. Средната статистическа стойност на всички тези наблюдения е куб“, казва Джеролмак.

Благодарим Ви, че прочетохте тази статия. Просвещението няма за цел да промени вашата гледна точка. Дали ще повярвате на тази статия или не, това е ваш избор! Не забравяйте да ни последвате в социалните мрежи!

Просвещението ©

Внимание! Всяко пълно или частично копиране на материали на Просвещението без писмено разрешение и директен линк към оригиналната публикация на Просвещението, включително от други електронни ресурси, ще се смята за грубо нарушение на Закона за защита на интелектуалната собственост на Република България. Просвещението си запазва правото да реагира на подобни нарушения включително по съдебен ред.

Leave a Reply

Your email address will not be published.

Translate »
error: Съдържанието е защитено!!!